12.已知$sinx+siny=\frac{1}{3}$,求μ=siny+cos2x的最值.

分析 由題意得siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1,1],得到sinx的取值范圍,把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質求出其最值.

解答 解:由已知條件有siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1,1](結合sinx∈[-1,1])
得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1,
而μ=siny+cos2x=$\frac{1}{3}$-sinx+cos2x═$\frac{4}{3}$-sin2x-sinx,
令t=sinx(-$\frac{2}{3}$≤t≤1),
則原式=-t2-t+$\frac{4}{3}$=-${(t+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{19}{12}$,(-$\frac{2}{3}$≤t≤1)
根據(jù)二次函數(shù)的性質得:
當t=-$\frac{1}{2}$即sinx=-$\frac{1}{2}$時,原式取得最大值$\frac{19}{12}$,
當t=1即sinx=1時,原式取得最小值-$\frac{2}{3}$.

點評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關系,正弦函數(shù)的有界性,二次函數(shù)的性質,求sinx的取值范圍是易錯點.

練習冊系列答案
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