Question

3．已知函數(shù)f（x）=-x²+2xtanθ+1，$x∈[-\sqrt{3}，1]$，其中$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
（1）當(dāng)$θ=-\frac{π}{4}$時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間$[-\sqrt{3}，1]$上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值以及最大值即可．
（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，通過已知條件列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)$θ=-\frac{π}{4}$時，f（x）=-x²-2x+1=-（x+1）²+2，$x∈[-\sqrt{3}，1]$，
所以當(dāng)x=-1時，f（x）的最大值為2；
當(dāng)x=1時，f（x）的最小值為-2．
（2）函數(shù)f（x）=-（x-tanθ）²+1+tan²θ的圖象的對稱軸為x=tanθ，
要使y=f（x）在區(qū)間$[-\sqrt{3}，1]$上是單調(diào)函數(shù)，必須有$tanθ≤-\sqrt{3}$或tanθ≥1．
又$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以θ的取值范圍是$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]∪[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)線的應(yīng)用，考查計算能力．