Question

18．在平面直角坐標系xOy中，直線l：x=-1，點T（3，0），動點P滿足PS⊥l，垂足為S，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ST}$=0，設動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設Q是曲線C上異于點P的另一點，且直線PQ過點（1，0），線段PQ的中點為M，直線l與x軸的交點為N．求證：向量$\overrightarrow{SM}$與$\overrightarrow{NQ}$共線．

Answer 1

分析 （1）設P（x₀，y₀），則S（-1，y₀），由此利用向量的數量積能求出曲線C的方程．
（2）設Q（x₁，y₁），則${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}$，從而y²=4x，p=2，焦點F（1，0），N（-1，0），由PQ過F，得${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{0}}$，${y}_{1}=-\frac{4}{{y}_{0}}$，進而$\overrightarrow{SM}$=（$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}，-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}$），$\overrightarrow{NQ}$=（$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}，-\frac{4}{{y}_{0}}$），由此能證明向量$\overrightarrow{SM}$與$\overrightarrow{NQ}$共線．

解答 解：（1）設P（x₀，y₀），則S（-1，y₀），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{ST}$=（x₀，y₀）•（4，-y₀）=4${x}_{0}-{{y}_{0}}^{2}$=0，
∴${{y}_{0}}^{2}=4{x}_{0}$．
∴曲線C：y²=4x．
證明：（2）設Q（x₁，y₁），則${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}$，
y²=4x，p=2，焦點F（1，0），N（-1，0），
∵PQ過F，∴x₀x₁=-$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
${y}_{0}{y}_{1}=-{p}^{2}=-4$，
∴${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{0}}$，${y}_{1}=-\frac{4}{{y}_{0}}$，
∴${x}_{M}=\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}$，
${y}_{m}=\frac{{{y}_{0}+{y}_{1}}^{\;}}{2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{2{y}_{0}}$，
∴$\overrightarrow{SM}$=（$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}+1，\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{2{y}_{0}}-{y}_{0}$）=（$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}，-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}$），
$\overrightarrow{NQ}$=（x₁+1，y₁）=（$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}，-\frac{4}{{y}_{0}}$），
假設$\overrightarrow{SM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}=λ•\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}}\\{-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}=λ•\frac{-4}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{λ=\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}=\frac{4{x}_{0}+4}{8}=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{SM}=\frac{{x}_{0}+1}{2}\overrightarrow{NQ}$，
∴向量$\overrightarrow{SM}$與$\overrightarrow{NQ}$共線．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查向量共線的證明，考查拋物線、直線方程、向量的數量積等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．