Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2sin{（ωx+φ）_{\;}}（ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}）$的圖象如圖．
（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求該函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖可求T，利用周期公式可求ω，當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時，y=0，代入f（x）=2sin（2x+φ），結(jié)合范圍|φ|≤$\frac{π}{2}$，可求φ的值，即可得解函數(shù)解析式；
（2）由x的范圍可求$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求值域．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由圖知$\frac{T}{2}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$，…（2分）
所以T=π，ω=2．…（3分）
當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時，y=0，代入f（x）=2sin（2x+φ），
得2sin[2×（-$\frac{π}{12}$）+φ]=0，
所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，…（4分）
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$．…（5分）
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）由題意得當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，…（8分）
∴$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$時，f（x）_min=-1；…（10分）
$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時，y_max=2．
∴f（x）的值域為[-1，2]．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．