Question

19．已知復(fù)數(shù)z₁=2+i、z₂=1+2i所對應(yīng)的點分別是A、B，O是坐標原點．
（1）寫出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的坐標；
（2）求∠BOA的正弦值；（提示：利用余弦定理）
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）直接由復(fù)數(shù)的值得到$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的坐標；
（2）求出△OAB的三邊長，利用余弦定理求∠BOA的余弦值，進一步得到正弦值；
（3）直接由三角形的面積公式求得面積．

解答 解：（1）∵z₁=2+i、z₂=1+2i，∴$\overrightarrow{OA}=（2，1），\overrightarrow{OB}=（1，2）$；
（2）|OA|=|OB|=$\sqrt{5}$，|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-2）^{2}}=\sqrt{2}$，
∴cos∠BOA=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，則sin$∠BOA=\frac{3}{5}$；
（3）${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了三角形的解法，是中檔題．