Question

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;    

（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

Answer 1

（1）當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.

（2）

（3）當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

解析:

（1）因?yàn)?img width=39 height=23 id="_x268A6113UNah_i1336" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/10/410810.gif">,,, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以,    即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.

(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,     且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立.

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知,  即    ①,

因?yàn)?img width=9 height=19 id="_x268A6113UNah_i1391" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/51/410851.gif">與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,

由（2）知得, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

即有唯一解

則△=,    即,     ②

由①②得,   此時(shí)A,B重合為B₁(x₁,y₁)點(diǎn), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因?yàn)?img width=80 height=41 id="_x268A6113UNah_i1408" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/70/410870.gif">當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即

當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.