Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若當時，函數(shù)的兩個極值點滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數(shù)求導，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，先求得的范圍，再利用進行適度放縮，即可由對勾函數(shù)單調(diào)性，容易證明.

（1）由已知，可知函數(shù)的定義域為，

在上有兩個零點，

設(shè)，

，

當時，，為增函數(shù)，不存在兩個零點；

當時，，得，

時，，為增函數(shù)，

時，，為減函數(shù).

且此時當趨近于時，趨近于負無窮；當趨近于正無窮時，趨近于負無窮.

故要滿足題意，只需：，

，

實數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：，

，

由的兩根為，故可得，，，

又，

，

解得，

，

設(shè)，

則，

當時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù)，

，

，

，

令，則，

在時單調(diào)遞減，

，

成立.