Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，若存在a≤1，使函數(shù)f（x）＜0對(duì)任意x∈[0，1]成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• B． （-∞，-3）
• C． （-$∞，-3+2\sqrt{2}$）
• D． （4+2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=x|x-a|，然后分a≤0，0＜a＜x≤1，0＜x＜a≤1三種情況對(duì)g（x）去絕對(duì)值，得到三種情況下g（x）的最大值，然后求得最大值的最小值為$3-2\sqrt{2}$，由
$3-2\sqrt{2}+b＜0$求得b的取值范圍．

解答 解：令g（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=x（x-a）≤1-a（x=1時(shí)取等號(hào)）；
（2）當(dāng)0＜a＜x≤1時(shí)，g（x）=x（x-a）≤1-a（x=1時(shí)取等號(hào)）；
（3）當(dāng)0＜x＜a≤1時(shí)，g（x）=-x（x-a）=$-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}≤\frac{{a}^{2}}{4}$（x=$\frac{a}{2}$時(shí)取等號(hào)）．
比較（2）（3）知，
當(dāng)$a≥2（\sqrt{2}-1）$時(shí)，$\frac{{a}^{2}}{4}≥1-a$；當(dāng)0$≤a≤2（\sqrt{2}-1）$時(shí)，$\frac{{a}^{2}}{4}＜1-a$．
∴可令h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜2（\sqrt{2}-1）}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2（\sqrt{2}-1）≤a≤1}\end{array}\right.$，
由h（a）的單調(diào)性可知，當(dāng)a=$2（\sqrt{2}-1）$時(shí)，$[g（a）]_{min}=\frac{{a}^{2}}{4}=3-2\sqrt{2}$．
由$3-2\sqrt{2}+b＜0$，得b$＜-3+2\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確分類是解答該題的關(guān)鍵，是難題．