Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（1）求證{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項；
（2）已知b_n=log₂（a_n+1），c_n=a_n•b_n，求數(shù)列|c_n|的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=2a_n-1+1變形可知a_n+1=2（a_n-1+1），進(jìn)而數(shù)列{a_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ-n，利用錯位相減法計算即得數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項和為Q_n，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=2ⁿ-1；
（2）解：由（1）可知b_n=log₂（a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
c_n=a_n•b_n=（2ⁿ-1）•n=n•2ⁿ-n，
記數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項和為Q_n，
則Q_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$Q_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
兩式相減得：-$\frac{1}{2}$Q_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1+（1-n）•2ⁿ，
∴Q_n=-2•[-1+（1-n）•2ⁿ]=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=Q_n-$\frac{n（n+1）}{2}$=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．