Question

11．若直線y=x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$
• B． $[{-1，\sqrt{2}}]$
• C． $（-1，1]∪\{\sqrt{2}\}$
• D． $（-1，1]∪\{-\sqrt{2}\}$

Answer 1

分析 曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個(gè)半徑為1的半圓，如圖，數(shù)形結(jié)合求得當(dāng)直線y=x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)b的取值范圍．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個(gè)半徑為1的半圓，如圖所示．
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）時(shí)，求得b=1，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0）時(shí)，求得b=-1，
當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)D時(shí)，由圓心O到直線y=x+b的距離等于半徑，
可得$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=1，求得b=-$\sqrt{2}$，或b=$\sqrt{2}$（舍去）．
故當(dāng)直線y=x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)b的取值范圍是-1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)．對(duì)于此類問(wèn)題除了用聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題之外，也可用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀，屬于基礎(chǔ)題．