Question

18．已知曲線E上的點到直線y=-2的距離比到點F（0，1）的距離大1．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過M（1，4）作曲線E的弦AB，使弦AB以M為中點，求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意知，曲線E上的點到直線y=-1的距離與到點F（0，1）的距離相等，從而能求出拋物線方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點差法及中點坐標公式可得直線斜率，從而能求出直線方程．

解答 解：（1）∵曲線E上的點到直線y=-2的距離比到點F（0，1）的距離大1，
∴曲線E上的點到直線y=-1的距離與到點F（0，1）的距離相等，
∴曲線E為拋物線，焦點為點F（0，1），準線為y=-1，
∴曲線E的方程為：x²=4y．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵過M（1，4）作曲線E的弦AB，使弦AB以M為中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$=4（y₁-y₂），即2（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的方程為y-4=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+7=0．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，考查拋物線、直線、點差法等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．