Question

已知不等式3x-x²-t＞0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}．
（1）求t，m的值；
（2）解關于x的不等式：0＜-mx²+3x+2-t＜1．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件中不等式的解集，得到關于x的方程3x-x²-t=0的兩根分別為x₁=1，x₂=m，利用根與系數(shù)的關系建立關于m、t的方程組，解之即可得到實數(shù)t，m的值；
（2）由（1）的結論，得到不等式0＜-mx²+3x+2-t＜1即0＜-2x²+3x＜1，化為

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

并分別解一元二次不等式，取交集即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）∵關于x的不等式3x-x²-t＞0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}．
∴關于x的方程3x-x²-t=0的兩根分別為x₁=1，x₂=m，且m＞1
因此可得

1+m=3 1×m=t

，解之得m=t=2；
（2）由（1），關于x的不等式：0＜-mx²+3x+2-t＜1即0＜-2x²+3x＜1
整理，得

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

，即

0＜x＜ 3 2 x＜ 1 2 或x＞1

因此，原不等式組的解集為（0，

1

2

）∪（1，

3

2

）

點評：本題給出含有字母參數(shù)的一元二次不等式，在已知解集的情況下求參數(shù)m、t的值，并依此解另一個關于x的不等式．著重考查了等知識，屬于基礎題．