Question

18．已知0＜a＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，sinα=$\frac{4}{5}$，則sinβ=（　�。�

• A． $\frac{7}{25}$
• B． -$\frac{7}{25}$
• C． $\frac{56}{65}$
• D． -$\frac{56}{65}$

Answer 1

分析 利用角的范圍和平方關(guān)系求出cosα，由α、β的范圍和不等式的性質(zhì)求出α-β的范圍，由條件和平方關(guān)系求出sin（α-β），由角之間的關(guān)系和兩角差的正弦函數(shù)求出答案．

解答 解：由題意得，$0＜α＜\frac{π}{2}$，且$sinα=\frac{4}{5}$，
∴$cosα=\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\frac{3}{5}$，
∵$-\frac{π}{2}＜β＜0$，
∴α-β∈（0，π），
又cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，則$sin（α-β）=\sqrt{1-{cos}^{2}（α-β）}=\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}=-\frac{56}{65}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，兩角差的正弦函數(shù)，以及三角函數(shù)的符號(hào)，利用不等式的性質(zhì)求出角的范圍，注意角之間關(guān)系的應(yīng)用，考查了變形、計(jì)算能力，屬于中檔題．