Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－x，數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n＋1≥f ′(a_n＋1)．

試比較與1的大小，并說明理由．

Answer 1

∵f ′(x)＝x²－1，a_n＋1≥f ′(a_n＋1)，

∴a_n＋1≥(a_n＋1)²－1.

∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)²－1＝x²＋2x在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是由a₁≥1，及a₂≥(a₁＋1)²－1得，a₂≥2²－1，進而得a₃≥(a₂＋1)²－1≥2⁴－1>2³－1，

由此猜想：a_n≥2ⁿ－1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：

①當(dāng)n＝1時，a₁≥2¹－1＝1，結(jié)論成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N^*)時結(jié)論成立，即a_k≥2^k－1，則當(dāng)n＝k＋1時，由g(x)＝(x＋1)²－1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增知，a_k＋1≥(a_k＋1)²－1≥2^2k－1≥2^k＋1－1，

即n＝k＋1時，結(jié)論也成立．

由①②知，對任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ－1.