Question

已知函數(shù)，．

（I）求函數(shù)f（x）的解析式；

（II）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（III）設(shè)x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求證：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：

導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)恒成立問題．

專題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

（I）欲求函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)題意，即求出其中的f'（2）的值，故只須對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后令x=2即可；

（II）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只須a≥F（x）_max即可，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)F（x）的最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

（III）由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，再分別令，，后利用不等式的性質(zhì)兩式相加，得到一個(gè)不等關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可證出結(jié)論．

解答：

解：（I）因?yàn)?sub>，

所以f′（x）=x﹣f′（2）．（2分）

令x=2，得f′（2）=1，

所以f（x）=．（4分）

（II）解：設(shè)F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣x，

則F′，（5分）

令F′（x）=0，解得x=1．（6分）

當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)（x）與F′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	增	極大值	減

所以當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（1）=﹣1．（9分）

因?yàn)閷?duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，

所以a≥﹣1．（10分）

（III）證明：由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，

令，得，

令，得，（11分）

所以

因?yàn)閍₁+a₂=1，

所以，

即，

所以a₁lnx₁﹣a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂﹣a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，

即a₁ln₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂），

所以a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上大于0，原函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)小于0，原函數(shù)是減函數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，是中檔題．