Question

已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）判斷并說(shuō)明上是否存在點(diǎn)，使得∥平面；

（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析    （Ⅱ）   （Ⅲ）．

【解析】解法一（向量法）

（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；

（2）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個(gè)垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點(diǎn)位置；

（3）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解法二（幾何法）

（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH=AD，再過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；

（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．

解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，

，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則．…………2分

不妨令∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由，得，令，解得：．∴．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，

要使∥平面，只需，即，

得，從而滿足的點(diǎn)即為所求．………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

又∵平面，∴是與平面所成的角，

得，，平面的法向量為    ……10分

∴，

故所求二面角的余弦值為．………12分

解法二：（Ⅰ）證明：連接，則，，

又，∴ ，∴    ……2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則∥平面，且有…5分

再過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則∥平面且，

∴  平面∥平面      …………………7分∴  ∥平面．

從而滿足的點(diǎn)即為所求．  …………………………8分

（Ⅲ）∵平面，∴是與平面所成的角，且．

∴   取的中點(diǎn)，則，平面，在平面中，過(guò)作，連接，則，則即為二面角的平面角……10分

∵∽，∴ ，∵，且∴  ，，∴