已知數(shù)列{an}的首項a1=t＞0，an+1=
3an
2an+1
，n=1，2，…
（1）若t=
3
5
，求證{
1
an
-1}是等比數(shù)列并求出{an}的通項公式；
（2）若an+1＞an對一切n∈N*都成立，求t的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)條件取倒數(shù)，再作變形，即可證得數(shù)列{
1
an
-1}是首項為
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{
1
an
-1}的通項公式，即可求{an}的通項公式；
（2）由a1＞0，an+1=
3an
2an+1
知an＞0，故an+1＞an得
1
an+1
＜
1
an
，根據(jù)數(shù)列{
1
an
-1}的通項公式，可得不等式，從而可求t的取值范圍．
解答：（1）證明：由題意知an＞0，
∵an+1=
3an
2an+1
，∴
1
an+1
=
2an+1
3an
，∴
1
an
=
1
3an
+
2
3
，
∴
1
an+1
-1=
1
3
(
1
an
-1)，
∵
1
a1
-1=
2
3
（4分）
∴數(shù)列{
1
an
-1}是首項為
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列；（5分）
∴
1
an
-1=(
5
3
-1)(
1
3
)n-1=
2
3n
，∴an=
3n
3n+2
（8分）
（2）解：由（1）知
1
an+1
-1=
1
3
(
1
an
-1)，
∴
1
an
-1=(
1
t
-1)(
1
3
)n-1（10分）
由a1＞0，an+1=
3an
2an+1
知an＞0，故an+1＞an得
1
an+1
＜
1
an
（11分）
即(
1
t
-1)(
1
3
)n+1＜(
1
t
-1)(
1
3
)n-1+1
∴
1
t
-1＞0，又t＞0，則0＜t＜1（14分）
點評：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查構造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項，考查不等式知識，解題的關鍵是取倒數(shù)，構造新數(shù)列．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
，前n項和Sn=n2an（n≥1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設b1=0，bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜
n2
n+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項為a1=2，前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，當n≥2，時，an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=（n+1）an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，n∈N*，求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知數(shù)列{an}的首項a1=1，若?n∈N*，an•an+1=-2，則an=
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項為a1=3，通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）求數(shù)列{an}中的最大項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn．

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