如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos
10
10
，求四面體ABCD的體積．
精英家教網(wǎng)
以BC、BA、BD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…（2分）
精英家教網(wǎng)

由題意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，z）（z＞0），
則
BE
=(1，1，0)，
AD
=(0，-2，z)…（6分）
∴
AD
•
BE
=
2
•
4+z2
cosθ=-2，
∵AD與BE所成的角的大小為arccos
10
10
，可得cos2θ=
2
4+z2
=
1
10
，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的長度是4，…（10分）
因此，三棱錐D-ABC的體積
VD-ABC=
1
3
S△ABC•BD=
1
6
AB•BC•BD=
1
6
×2×2×4=
8
3
，
即四面體ABCD的體積是
8
3
，…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的大��；
（Ⅲ）若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•襄陽模擬）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大�。�
（3）若直線BD與平面ACD所成的角為θ，求θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（2）求證：AF∥平面BDE；
（3）求四面體B-CDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的邊長為2a，側(cè)棱AA1=2a，M、N分別為AA1、BC中點(diǎn)
（1）求四面體C1-MNB1體積；
（2）求直線MC1與平面MNB1所成角正弦值．

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同步練習(xí)冊答案