Question

設(shè)f(x)＝x²－2ax＋2，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(辯證思想) 　　當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，也就是說在[－1，＋∞)內(nèi)，f(x)的最小值都大于或等于a． 　　由題意，a≤x2－2ax＋2在[－1，＋∞)內(nèi)恒成立，所以a≤[f(x)]min． 　　而f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2在[－1，＋∞)上的最小值分如下兩種情況： 　　(1)a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2． 　　(2)a∈(－∞，－1)時，f(x)min＝f(－1)＝(1＋a)2＋2－a2，∴f(x)min＝2－a2，a∈[－1，＋∞)，(1＋a)2＋2－a2，a∈(－∞，－1)． 　　由a≤[f(x)]min知， 　　當(dāng)a∈[－1，＋∞)時，a≤2－a2，得－2≤a≤1，所以得－1≤a≤1， 　　當(dāng)a∈(－∞，－1)時，a≤(1＋a)2＋2－a2，得a≥－3，所以得－3≤a＜1，綜上所述，a的取值范圍為a∈[－3，1]． 　　解法二：(函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想) 　　f(x)≥ax2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，(1)Δ≤0a∈[－2，1]． 　　(2)解得a∈[－3，－2]，綜上所述，a的取值范圍為a∈[－3，1] 　　點評：由已知條件可見，“恒成立”三個字是該題的“題眼”，可由此來探討有哪些具體的解答思路．