Question

1．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ²（1+sin²θ）=8，
（I）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（II）若C₁與C₂交于兩點(diǎn)A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去C₁的參數(shù)方程中的參數(shù)t，即可得到C₁的普通方程；把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入極坐標(biāo)方程即可求得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）聯(lián)立C₁的普通方程與C₂的直角坐標(biāo)方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，再由弦長公式求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y+2=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
∴x-1=y+2，即y=x-3；
由ρ²（1+sin²θ）=8，得ρ²+ρ²sin²θ=8，
即x²+y²+y²=8，
∴C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+2y²=8；
（Ⅱ）若C₁與C₂交于兩點(diǎn)A，B，可設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-3\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y，可得x²+2（x-3）²=8，
整理得3x²-12x+10=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=4，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}-\frac{40}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，是中檔題．