Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)m＞n＞0，求證：lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，結(jié)合基本不等式求解a的范圍即可．
（2）利用分析法轉(zhuǎn)化所證明的不等式，結(jié)合（1）函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （本題滿分15分）
解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，
可得${f^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{{a（{x+1}）-a（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}-2ax}}{{x{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{x^2}+（{2-2a}）x+1}}{{x{{（{x+1}）}^2}}}$，…（2分）
因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）恒成立，所以$2a-2≤x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）恒成立，
因?yàn)?x+\frac{1}{x}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號(hào)成立，所以2a-2≤2，解得：a≤2．…（8分）
（2）$要證lnm-lnn＞\frac{{2（{m-n}）}}{m+n}，只需證ln\frac{m}{n}＞\frac{{2（{\frac{m}{n}-1}）}}{{\frac{m}{n}+1}}，只需證ln\frac{m}{n}-\frac{{2（{\frac{m}{n}-1}）}}{{\frac{m}{n}+1}}＞0$，…（10分）
設(shè)$h（x）=lnx-\frac{2（x-1）}{x+1}$，由（1）可知h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
因?yàn)?\frac{m}{n}＞1$，所以h（m）＞h（1）=0，…（13分）
即$ln\frac{m}{n}-\frac{{2（\frac{m}{n}-1）}}{{\frac{m}{n}+1}}＞0$，所以原等式成立．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分析法以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．