設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中實數(shù)a≠0.
(Ⅰ)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象只有一個公共點且g(x)存在最小值時,記g(x)的最小值為h(a),求h(a)的值域;
(Ⅲ)若f(x)與g(x)在區(qū)間(a,a+2)內(nèi)均為增函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)先對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間.
(2)令f(x)=g(x)整理可得x[x
2-(a
2-2)]=0,故a
2-2≤0求出a的范圍,再根據(jù)g(x)存在最小值必有a>0,最后求出h(a)的值域即可.
(3)分別求出函數(shù)f(x)與g(x)的單調(diào)區(qū)間,然后令(a,a+2)為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可.
解答:解:(Ⅰ)∵
,又a>0,
∴當(dāng)
時,f'(x)>0;
當(dāng)
時,f'(x)<0,
∴f(x)在(-∞,-a)和
內(nèi)是增函數(shù),在
內(nèi)是減函數(shù).
(Ⅱ)由題意知x
3+ax
2-a
2x+1=ax
2-2x+1,
即x[x
2-(a
2-2)]=0恰有一根(含重根).∴a
2-2≤0,即
≤a≤
,
又a≠0,∴
.
當(dāng)a>0時,g(x)才存在最小值,∴
.
g(x)=a(x-
)
2+1-
,
∴
.
h(a)≤1-
;
∴h(a)的值域為
.
(Ⅲ)當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,-a)和
內(nèi)是增函數(shù),g(x)在
內(nèi)是增函數(shù).
由題意得
,解得a≥1;
當(dāng)a<0時,f(x)在
和(-a,+∞)內(nèi)是增函數(shù),g(x)在
內(nèi)是增函數(shù).
由題意得
,解得a≤-3;
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]∪[1,+∞).
點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增.