Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中實數(shù)a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最小值時，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x²-（a²-2）]=0，故a²-2≤0求出a的范圍，再根據(jù)g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．
（3）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)區(qū)間，然后令（a，a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．
解答：解：（Ⅰ）∵，又a＞0，
∴當(dāng)時，f'（x）＞0；
當(dāng)時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即≤a≤，
又a≠0，∴．
當(dāng)a＞0時，g（x）才存在最小值，∴．
g（x）=a（x-）²+1-，
∴．
h（a）≤1-；
∴h（a）的值域為．
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時，f（x）在和（-a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得，解得a≤-3；
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增．