Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），記f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，求出導(dǎo)數(shù)h′（x），當(dāng)x=1時(shí)，h′（x）=0，由（1）得，e^x-ex≥0，討論當(dāng)x＞1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得到h（x）的最大值，即可得證．

解答： （1）解：）∵f（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1），
∴f′（x）=-ex²+x+e^x（x-1）+e^x=x（e^x+1-ex），
令y=e^x+1-ex，則y′=ex-e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，則x=1取極小，也是最小，
則y≥1．即e^x+1-ex＞0恒成立，
則g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．
故g（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，1+lnx-f′（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
h′（x）=

1

x

+2ex-1-e^xx-e^x，
當(dāng)x=1時(shí)，h′（x）=0，由（1）得，e^x-ex≥0，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，
故x=1為極大值，也為最大值，且為h（1）=0．
故當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，1+lnx-f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求極值，求最值，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解，本題屬于中檔題．