Question

14．已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0的圓心在直線ax-by+1=0上，則ab的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{8}$]
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． （0，$\frac{1}{8}$]

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，由已知圓關(guān)于直線ax-by+1=0對(duì)稱，得到圓心在直線上，故把圓心坐標(biāo)代入已知直線方程得到a與b的關(guān)系式，由a表示出b，設(shè)m=ab，將表示出的b代入ab中，得到m關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)求最大值的方法即可求出m的最大值，即為ab的最大值，即可寫出ab的取值范圍．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=2，
根據(jù)題意可知：圓心在已知直線ax-by+1=0上，
把圓心坐標(biāo)代入直線方程得：-a-2b+1=0，即a=1-2b，
則設(shè)m=ab=b（1-2b）=-2b²+b，
∴當(dāng)b=$\frac{1}{4}$時(shí)，m有最大值，最大值為$\frac{1}{8}$，即ab的最大值為$\frac{1}{8}$，
則ab的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{8}$]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題以直線與圓為載體，考查對(duì)稱性，考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意得到圓心在已知直線上是解本題的關(guān)鍵．