Question

某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計利息）．
已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷量q（百件）與銷售價p（元/件）之間的關(guān)系用下圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其他費用為每月13200元．
（1）若當(dāng)銷售價p為52元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時每件消費品的價格定為多少元？

Answer 1

分析：（1）依題意，當(dāng)40≤p≤58時，p、q的關(guān)系為：-2p+140=q，據(jù)此當(dāng)p=52時，可求得q，設(shè)此時該店的職工人數(shù)為m，利用該店正好收支平衡可求得該店的職工人數(shù)；
（2）由圖可得q與p的關(guān)系式q=

-2p+140，(40≤p≤58) -p+82，(58＜p≤81)

，設(shè)該店月收入為S，對p分①當(dāng)40≤p≤58與②58＜p≤81時求得各自的最大收入，比較后可得答案．

解答：解：（1）由圖可知：當(dāng)40≤p≤58時，p、q的關(guān)系為：-2p+140=q；
當(dāng)p=52時，q=36．
設(shè)此時該店的職工人數(shù)為m，
則：3800（52-40）=600m+13200，
解得：m=54，即該店的職工人數(shù)為54人．
（2）由圖可知：q=

-2p+140，(40≤p≤58) -p+82，(58＜p≤81)

，
設(shè)該店月收入為S，
則①當(dāng)40≤p≤58時，
S=100（p-40）（-2p+140）-13200-600×40=-200（p-55）²+7800，
即當(dāng)p=55時，最大月收入S₁=7800．
②當(dāng)58＜p≤81時，
S=100（p-40）（-p+82）-13200-600×40=-100（p-61）²+6900，
即當(dāng)p=61時，最大月收入S₂=6900．
由于S₁＞S₂，故當(dāng)p=55時，還清所有債務(wù)的時間t最短，且t=（26.8+20）×10000÷12S₁=5，
即當(dāng)每件消費品的價格定為55元時，該店可在最短5年內(nèi)還清債務(wù)．

點評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出考查二次函數(shù)的最值，考查配方法，考查分類討論思想與運算能力，屬于難題．