設(shè)F1、F2分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；

（2）設(shè)點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

答案：
解析：

解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，

由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.

又點A（1，）在橢圓上，因此=1得b2=3，于是c2=1.

所以橢圓C的方程為=1，焦點F1（－1，0），F2（1，0）.

（2）設(shè)橢圓C上的動點為K（x1，y1），線段F1K的中點Q（x，y）滿足：

， 即x1=2x+1，y1=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.

（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線：=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.

設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（－m，－n），其中=1.

又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由，

得kPM·kPN=，將m2－b2代入得kPM·kPN=.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓C上的點A(1，
3
2
)到兩點的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點Q(0.
1
2
)求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢C：數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓C上的點數(shù)學(xué)公式到兩點的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點數(shù)學(xué)公式求|PQ|的最大值．

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