Question

如圖用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為am²．為使所用材料最省，底寬應為

8a π+4

米．

Answer 1

分析：窗子是由矩形與一個半圓組成，故其面積為：一個矩形的面積加上一個半圓的面積，分別表示表示成關于底寬的關系式，進而可得周長關于底邊長的函數(shù)關系式，利用基本不等式可求最值，得出所用材料最省時的底寬．

解答：解：如圖，設底寬BC=2x米，則半圓弧DA長為πx米
再設AB=y米，可得窗子的面積為：2xy+

π

2

x2=a
∴y=

a- π 2 x2

2x

∴周長為：f（x）=2y+2x+πx=

a- π 2 x2

x

+2x+πx=

a

x

+(2+

π

2

) x
由y＞0得

a- π 2 x2

2x

＞0，
∵x＞0，∴0＜x＜

2a π

∴自變量x的取值范圍是x∈(0，

2a π

)
由基本不等式得：

a

x

+(2+

π

2

) x≥2

a x ×(2+ π 2 )

x=

a(8+ 2π)

當且僅當

a

x

=(2+

π

2

) x，即x=

2a π+4

時，周長取得最小，即所用材料最省．
此時底寬應為

8a π+4

米
故答案為：

8a π+4

．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用和函數(shù)最值問題，屬于中檔題．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系，再應用基本不等式加以解決．