Question

已知冪函數(shù)f（x）=（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱且與x軸、y軸無交點(diǎn).

（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并畫出它的圖象；

（2）討論函數(shù)g（x）=的奇偶性（a、b∈R）.

Answer 1

解析：求解本題的關(guān)鍵是先確定m的值，寫出f（x）的解析式，再把f（x）代入g（x），判斷g（x）的奇偶性.

解：（1）由冪函數(shù)的圖象與x、y軸無公共點(diǎn)，∴m²-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

    又m∈Z，得m=0，1，2.又冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴它是偶函數(shù).

    把m=0，1，2分別代入得f（x）=x^-3，f（x）=x^-4，f（x）=x^-3，

    只有f（x）=x^-4符合條件，故m只能取1,∴f（x）=x^-4.

    其圖象如下圖所示.

（2）把f（x）=x^-4代入g（x）的解析式，得

g（x）=a--bx³（x≠0），g（-x）=-b(-x)³=+bx³，

∴當(dāng)a≠0，b≠0時，g（x）為非奇非偶函數(shù)；

    當(dāng)a=0，b≠0時，g（x）為奇函數(shù)；

    當(dāng)a≠0，b=0時，g（x）為偶函數(shù)；

    當(dāng)a=b=0時，g（x）既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).