Question

【題目】意大利人斐波那契在1202年寫(xiě)的《計(jì)算之書(shū)》中提出一個(gè)兔子繁殖問(wèn)題：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，此后每個(gè)月生一對(duì)小兔，如此，設(shè)第n個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)為，則，，，，，….考查數(shù)列的規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)，（），我們稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列.

（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（，），試判斷數(shù)列是否構(gòu)成斐波那契數(shù)列，說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，且，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）是斐波那契數(shù)列；詳見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）利用證得，同時(shí)計(jì)算出，證得結(jié)論；

（2）變形與比較，同時(shí)計(jì)算出，得證等比數(shù)列；

（3）由（2）得，即，此式可變形為，化簡(jiǎn)得，這樣由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，從而得，再分組后由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得．

解：（1）因?yàn)?/span>，（，）.

所以①，②

②－①得，又，故是斐波那契數(shù)列；

（2）因?yàn)?/span>，所以

，即，

即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

（3）由（2）得，即，

令，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>，所以

即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故

即；

所以

.