Question

如圖，AB是圓O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線 AD于點F，過點G作圓O的切線，切點為H．
（1）求證：C，D，E，F(xiàn)四點共圓；
（2）若GH=8，GE=4，求EF的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點共圓；
（2）由C，D，E，F(xiàn)四點共圓，利用共線定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH²=GC•GD，進而得到GH²=GE•GF即可．

解答： 解：（1）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F(xiàn)四點共圓；
（2）∵C，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切線，∴GH²=GC•GD，∴GH²=GE•GF．
又因為GH=8，GE=4，所以GF=16．
∴EF=GF-GE=12．

點評：熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、四點共圓的判定方法、切割線定理、割線定理等是解題的關(guān)鍵．