Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

2x2+1

（x∈R）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由于f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），計(jì)算化簡(jiǎn)即可得到a=0，進(jìn)而得到解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)整理成二次方程，先討論二次項(xiàng)系數(shù)為0，再考慮不為0，再由判別式大于0，解得即可得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
又f(-x)=

-x+a

2x2+1

=-

x+a

2x2+1

⇒-x+a=-x-a⇒a=0，
∴f(x)=

x

2x2+1

；
（Ⅱ）y=

x

2x2+1

⇒2yx2-x+y=0，
當(dāng)y=0時(shí)，x=0∴y=0成立，
當(dāng)y≠0時(shí)，△=1-4×2y×y≥0⇒-

2

4

≤y≤

2

4

且y≠0．
綜上值域?yàn)閇-

2

4

，

2

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和運(yùn)用，以及函數(shù)的值域的求法：判別式法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．