Question

 如圖，在四面體中，平面平面，，，。

（Ⅰ）若，，求四面體的體積；

（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值。（12分）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一問中，利用求解體積知道高和底面積即可。因?yàn)樵O(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以，故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，再利用由勾股定理易知，得到體積。

第二問中，設(shè)G、H分別為邊CD、BD的中點(diǎn)，則FG//AD，GH//BC，

從而是異面直線AD與BC所成的角或補(bǔ)角設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF//BC，由知，又由（1）有平面ABC，故由三垂線定理知，

所以為二面角C—AB—D的平面角，由題設(shè)知，設(shè)AD=a，則，在中，

從而，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912065081202867/SYS201207091207381088421834_DA.files/image017.png">，故，

從而，在中，，又，從而在中，因再利用余弦定理求解得到異面直線所成的角。

解：（I）如圖，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以，

故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，

即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，

且=1，……….2分，

，在中，

因，，

由勾股定理易知，

故四面體ABCD的體積………….4分

（II）如圖，設(shè)G、H分別為邊CD、BD的中點(diǎn)，則FG//AD，GH//BC，

從而是異面直線AD與BC所成的角或補(bǔ)角�！�…….6分，

設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF//BC，由知，

又由（1）有平面ABC，故由三垂線定理知，

所以為二面角C—AB—D的平面角，

由題設(shè)知，……….8分，

設(shè)AD=a，則，在中，，

從而，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912065081202867/SYS201207091207381088421834_DA.files/image017.png">，故，從而，在中，，又，從而在中，因，由余弦定理得，

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為�！�….12分