Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，x₁、x₂、x₃∈R，且x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，則f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值（　�。�

• A． 一定等于零
• B． 一定大于零
• C． 一定小于零
• D． 正負(fù)都有可能

Answer 1

分析 先判斷奇偶性和單調(diào)性，先由單調(diào)性定義由自變量的關(guān)系得到函數(shù)關(guān)系，然后三式相加得解．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)同增為增，可得函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∵x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，
∴x₁＞-x₂，x₂＞-x₃x₃＞-x₁，
∴f（x₁）＞f（-x₂，f（x₂）＞f（-x₃），f（x₃）＞f（-x₁）
∴f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₂）+f（x₃）＞0，f（x₃）+f（x₁）＞0，
三式相加得：
f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞0，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義，關(guān)鍵是通過變形轉(zhuǎn)化到定義模型．