Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（0，1），B（4，a）（a∈R）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=3，并且AB是圓C的直徑，求此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，圓C與x軸相切，求此時(shí)圓C的方程；
（3）如果AB是圓C的直徑，證明：無(wú)論a取何實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過(guò)除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，圓心為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，半徑等于

1

2

AB=

5

，由此求得所求的圓的方程．
（2）a=1時(shí)，圓過(guò)A（0，1），B（4，1），設(shè)圓的半徑為r，則由圓C與x軸相切可得圓心為（2，r），再根據(jù)r²=|CA|²求出r的值，即可求得圓C的方程．
（3）由AB是圓C的直徑，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為 （x，y），由于直徑對(duì)的圓周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，由此求得動(dòng)圓的方程，從而求出此圓過(guò)定點(diǎn)（4，1）．

解答：解：（1）由題意可得，圓心為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，故圓心坐標(biāo)C（2，2），半徑等于

1

2

AB=

5

，故所求的圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）a=1時(shí)，圓過(guò)A（0，1），B（4，1），設(shè)圓的半徑為r，則由圓C與x軸相切可得圓心為C（2，r）．
r²=4+（r-1）²，r=

5

2

，故所求的圓的方程為  (x-2)2+(y-

5

2

)2=

25

4

．
（3）∵AB是圓C的直徑，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為 （x，y），由于直徑對(duì)的圓周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，即 （x，y-1）•（x-4，y-a）=0，
故動(dòng)圓的方程為：x（x-4）+（y-1）（y-a）=0，則當(dāng)x=4，y=1時(shí)，（x，y-1）•（x-4，y-a）=0恒成立，
故圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．