Question

【題目】如圖，矩形 中， ， ，點(diǎn) 是 上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將矩形 沿著對(duì)角線 折成二面角 ，使得 ．

（Ⅰ）求證：當(dāng) 時(shí)， ；
（Ⅱ）試求 的長(zhǎng)，使得二面角 的大小為 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連結(jié) ， ．

在矩形 中， ,
, ．
在 中，∵ ,
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，

，
∴在 中， ,
,
又 ,
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，過(guò) 作 于 ，并延長(zhǎng)交 于 . 沿著對(duì)角線 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 兩兩垂直，
以 為原點(diǎn)， 的方向?yàn)? 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 ，則
,
平面 ,
為平面 的一個(gè)法向量．
設(shè)平面 的法向量為
， ,
由 得
取 則 , ．
即 ,
．
當(dāng) 時(shí)，二面角 的大小是
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，連結(jié)DF，BF．通過(guò)計(jì)算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后證明D'F⊥平面ABC．推出利用線面垂直的性質(zhì)得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先說(shuō)明OE，OC，OD'兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面AD'F的一個(gè)法向量．以及平面BD'F的法向量，通過(guò)用空間向量求平面間的夾角的方法，利用向量的數(shù)量積求解二面角的平面角的余弦值即可．