Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，前n項(xiàng)和為S_n，b_n=a_n³，b_n的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=S_n²
（1）若數(shù)列{a_n}共3項(xiàng)，求所有滿足要求的數(shù)列；
（2）求證：a_n=n（n∈N^*）是滿足已知條件的一個(gè)數(shù)列；
（3）請(qǐng)構(gòu)造出一個(gè)滿足已知條件的無窮數(shù)列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n=1時(shí)，T₁=S₁²，a13=a12；n=2時(shí)，T₂=S22，a13+a23=(a1+a2)2；n=3時(shí)，T₃=S32，a13+a23+a33=（a₁+a₂+a₃）²．由此能求出符合要求的數(shù)列．
（2）a_n=n，即證明1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，用數(shù)學(xué)歸納法能證明a_n=n（n∈N^*）是滿足已知條件的一個(gè)數(shù)列．
（3）由已知得2an+1Sn+an+12=an+13，從而2Sn=an+12-an+1，進(jìn)而得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0=0，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）解：n=1時(shí)，T₁=S₁²，a13=a12，解得a₁=1或a₁=0（舍），
n=2時(shí)，T₂=S22，a13+a23=(a1+a2)2，
1+a23=（1+a₂）²，
解得a₂=2或a₂=-1，或a₂=0，舍，
n=3時(shí)，T₃=S32，a13+a23+a33=（a₁+a₂+a₃）²，
當(dāng)a₂=2時(shí)，1+8+a33=（1+2+a₃）²，
解得a₃=3或a₃=-2，或a₃=0（舍），
當(dāng)a₂=-1時(shí)，1-1+a33=（1-1+a₃）²，
解得a₃=1或a₃=0（舍）．
∴符合要求的數(shù)列有：1，2，3；1，2，-2；1，-1，1．
（2）證明：∵a_n=n，即證明1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，1³=1²，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即1³+2³+3³+…+k³=（1+2+3+…+k）²成立，
則n=k+1時(shí)，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³
=（1+2+3+…+k）²+（k+1）³
=[

(1+k)k

2

]2+(k+1)3
=[

(1+k)

2

]2(k2+4k+4)
=[

(1+k)(k+2)2

2

]2
=[

(1+k+1)(k+1)

2

]2
=[1+2+3+…+k+（k+1）]²，也成立，
由①②，對(duì)于n∈N^*，都有1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
∴a_n=n（n∈N^*）是滿足已知條件的一個(gè)數(shù)列．
（3）解：∵Sn2=a13+a23+a33+…+an3，①
∴Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13，②
②-①，得2an+1Sn+an+12=an+13，
∵a_n+1≠0，∴2Sn+an+1=an+12，
∴2Sn=an+12-an+1，③
n≥2時(shí)，2Sn-1=an2-an，④
③-④，得2an=an+12-an+1-an2+an，
∴an+1+an=an+12-an2，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0=0，
∴a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1，n≥2．
構(gòu)造：an=

n，n≤2014，n∈N* 2014(-1)n，n≥2015，n∈N*

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查所有滿足要求的數(shù)列的求法，考查a_n=n（n∈N^*）是滿足已知條件的一個(gè)數(shù)列的證明，考查一個(gè)滿足已知條件的無窮數(shù)列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014的數(shù)列的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．