Question

13．如圖，三棱錐D-ABC中，AB=AC=CD=1，∠BAC=∠ACD=90°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°，則BD的長為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$，可得${\overrightarrow{BD}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵∠BAC=∠ACD=90°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$=-cos60°=-$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$，
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$
=3+0+0-1=2，
∴$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量多邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．