Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個(gè)長(zhǎng)方體，P-ABCD是一個(gè)四棱錐．AB=2，BC=3，點(diǎn)P∈平面CC₁D₁D且．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=a，當(dāng)a為何值時(shí)，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

方法一：（Ⅰ）證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/34016.png' />，CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．
因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是一個(gè)長(zhǎng)方體，所以BC⊥面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．
因?yàn)镻D垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC，
所以由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：過P點(diǎn)在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE．
因?yàn)槊鍭BCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角．
因?yàn)镻E=1，，所以．
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為．
（Ⅲ）解：當(dāng)a=2時(shí)，PC∥平面AB₁D．
當(dāng)a=2時(shí)，四邊形CC₁D₁D是一個(gè)正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個(gè)平面內(nèi)，所以PC∥C₁D．
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．
方法二：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)AA₁=a，則有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）． 
于是，，，所以，．
所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：A（3，0，a），所以，而平面ABCD的一個(gè)法向量為．
所以．
所以PA與平面ABCD所成的角的正弦值為．
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為．
（Ⅲ）解：B₁=（3，2，0），所以，．
設(shè)平面AB₁D的法向量為，則有，
令z=2，可得平面AB₁D的一個(gè)法向量為．
若要使得PC∥平面AB₁D，則要，即，解得a=2．
所以當(dāng)a=2時(shí)，PC∥平面AB₁D．
分析：方法一：（Ⅰ）證明PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）過P點(diǎn)在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE，可得∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，從而可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，PC∥平面AB₁D，利用線面平行的判定可得結(jié)論；
方法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，證明PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求得，平面ABCD的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）求得平面AB₁D的一個(gè)法向量為，要使得PC∥平面AB₁D，則要，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，線面角，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．