Question

（本小題滿分12分）
如圖3，已知直二面角，，，，，，直線和平面所成的角為．
（I）證明；
（II）求二面角的大�。�

Answer 1

（I）
（II）二面角的大小為

解：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150247858286.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150247608318.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
而，所以，，從而，又，
所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150248107261.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，
不妨設(shè)，則，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小為．
解法二：由（I）知，，，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150248794299.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以是和平面所成的角，則．
不妨設(shè)，則，．
在中，，
所以．
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
，，，．
所以，．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得
取，得．
易知是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．
所以．
故二面角的大小為．