Question

經過雙曲線x²-y²=1的左焦點F₁作傾斜角為

π

3

的弦AB．求：
（1）|AB|；
（2）△F₂AF₁的周長．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點的距離公式求出|AB|．
（2）利用焦半徑公式求出|F₂A|，|F₂B|，利用韋達定理求出|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周長．

解答： 解：（1）雙曲線的左焦點為F₁（-

2

，0），直線AB的斜率k=tan

π

3

=

3

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AB：y=

3

（x+

2

），
代入x²-y²=1整理得2x²+6

2

x+7=0
∴x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=

7

2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

18-14

=2，
∴|AB|=

1+ 3 2

|x₁-x₂|=4；
（2）|F₂A|=-

2

x₁+1，|F₂B|=-

2

x₂+1，
∴|F₂A|+|F₂B|=-

2

（x₁+x₂）+2=8，
∴△F₂AB的周長為8+4=12．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查弦長公式的運用，考查三角形的周長，屬于中檔題．