Question

已知p：2x²-3x+1≤0，q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=

1

2

，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）先解出p，q下的不等式，從而得到p：

1

2

≤x≤1，q：a≤x≤a+1，所以a=

1

2

時(shí)，p：

1

2

≤x≤

3

2

．由p∧q為真知p，q都為真，所以求p，q下x取值范圍的交集即得實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）由p是q的充分不必要條件便可得到

a≤ 1 2 a+1≥1

，解該不等式組即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：p：

1

2

≤x≤1，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=

1

2

，則q：

1

2

≤x≤

3

2

；
∵p∧q為真，∴p，q都為真；
∴

1 2 ≤x≤1 1 2 ≤x≤ 3 2

，∴

1

2

≤x≤1；
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為[

1

2

，1]；
（2）若p是q的充分不必要條件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴

a≤ 1 2 a+1≥1

，∴0≤a≤

1

2

；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系，以及充分不必要條件的概念．