Question

P、Q、M、N四點都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點。已知與共線，與共線，且，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。

Answer 1

解：∵，即MN⊥PQ，
當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸，
不妨設(shè)MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，
∵F(0，1)，
∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0，
分別代入橢圓中得：|MN|=，|PQ|=2，
S_{四邊形PMQN}=，
當(dāng)MN，PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時，
設(shè)MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k²+2)x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=，x₁·x₂=，
∴，
同理可得：，
S_{四邊形PMQN}=|MN|·|PQ|=，
(當(dāng)且僅當(dāng)即k=±1時，取等號)，
又S_{四邊形PMQN}=，
∴此時S_{四邊形PMQN}＜2；
綜上可知：(S_{四邊形PMQN})_max=2，(S_{四邊形PMQN})_min=。