Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1（k∈R）
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

x

-1．能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（1）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）

解答： 解：（Ⅰ）易知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又f′（x）=

1

x

-1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

（Ⅱ）當(dāng)k≤0時(shí)，f（1）=1-k＞0，不成立，
故只考慮k＞0的情況
又f′（x）=

1

x

-k
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)0＜x＜

1

k

時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞

1

k

時(shí)，f′（x）＜0
在(0，

1

k

)上是增函數(shù)，在(

1

k

，+∞)時(shí)減函數(shù)，
此時(shí)f(x)max=f(

1

k

)=-lnk
要使f（x）≤0恒成立，只要-lnk≤0 即可
解得：k≥1．

（Ⅲ）當(dāng)k=1時(shí)，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈（1，+∞）上恒成立，
令x=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），
∴

lnn

n+1

＜

n-1

2

（n∈N^*且n＞1）
∴

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

即：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實(shí)數(shù)的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．