Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？請(qǐng)說明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q為常數(shù)，且aq≠0）對(duì)任意m存在k，有b_m·b_m+1=b_k，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，試確定所有的p，使數(shù)列{b_n}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中{a_n}的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。

Answer 1

解：（1）由，得6m+5=3k+1，
整理后，可得，
∵m、k∈N，
∴k-2m為整數(shù)
∴不存在n、k∈N*，使等式成立。
（2）當(dāng)m=1時(shí)，則，
∴，
∴，其中c是大于等于-2的整數(shù)，
反之當(dāng)時(shí)，其中c是大于等于-2的整數(shù)，則，
顯然，其中k=2m+1+c，
∴a、q滿足的充要條件是，其中c是大于等于-2的整數(shù)。
（3）設(shè)，
當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)；
當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，（*）式不成立。
由（*）式得，整理得，
當(dāng)p=1時(shí)，符合題意；
當(dāng)p≥3，p為奇數(shù)時(shí)，


，
∴由，
得，
∴當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有m和k使上式一定成立；
∴當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，命題都成立。