Question

4．已知銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足a-c=4，且cos（A-C）=$\frac{7}{8}$，則AC邊上的高BD=11．

Answer 1

分析 三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可解得B=60°，A-C=2（A-B），在BC上取BD等于c，設(shè)∠CAD=θ，則，A-C=2（A-B）=2θ，∠CDA=120°，由cos（A-C）=cos2θ=$\frac{7}{8}$，解得sinθ，由正弦定理可得b，由余弦定理可得ac=b²-16，根據(jù)${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，即可得解．

解答 解：∵銳角三角形的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
則有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∴A-C=2（A-B），
如圖，在BC上取BD等于c，設(shè)∠CAD=θ，AC邊上的高BD=h，
則，A-C=2（A-B）=2θ，∠CDA=120°，
∴cos（A-C）=cos2θ=$\frac{7}{8}$，解得：cosθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，sin$θ=\frac{1}{4}$，
∴△ADC中，由正弦定理可得：$\frac{sin∠ADC}=\frac{a-c}{sinθ}$，即b=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}$=8$\sqrt{3}$．
∵由余弦定理可得：cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，又a-c=4，
∴ac=b²-16．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，可得：h=$\frac{acsinB}$=$\frac{^{2}-16}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{192-16}{8\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識(shí)的考查．