已知橢圓的兩個焦點，過F1且與坐標軸不平行的直線l與橢圓相交于M，N兩點，如果△MNF2的周長等于8．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
解：（I）由題意知c=，4a=8，
∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為=1
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則
l的方程為y=k（x﹣1）
消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0
設P（x1，y1），Q（x2，y2）
則由韋達定理得
則
∴=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2
               =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）                                    
              =
              =
要使上式為定值須，
解得
∴為定值當直線l的斜率不存在時
由可得
∴=
綜上所述當時，為定值
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點分別是F1(0，-2
2
)，F2(0，2
2
)，離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標為-
1
2
，求直線l的傾斜角的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點F1(-
3
，0)，F2 (
3
，0)，且橢圓短軸的兩個端點與F2構成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）且與坐標軸不平行的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，若在x軸上存在定點E（m，0），使
PE
•
QE
恒為定值，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點為F1(-
5
，0)，F2(
5
，0)，M是橢圓上一點，若
MF1
•
MF2
=0，|
MF1
|•|
MF2
|=8，則該橢圓的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點是（-3，0），（3，0），且點（0，2）在橢圓上，則橢圓的標準方程是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點將長軸三等分，焦點到相應準線的距離為8，則此橢圓的長軸長為
6
6
．

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