Question

14．已知偶函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期為π
（Ⅰ）求f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域
（Ⅱ）將f（x）圖象上的所有點向右平移$\frac{π}{2}$個單位，橫坐標縮短到原來的$\frac{2}{3}$倍，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數g（x）的圖象，求方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$的所有實數根的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導公式，余弦函數的周期性求得f（x）的解析式，再利用余弦函數的定義域和值域求出f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．
（Ⅱ）利用函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，數形結合可得方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$的所有實數根的和．

解答 解：（Ⅰ）∵偶函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期為π，
∴φ=-$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{2}$）=-cosωx，且$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，故f（x）=-cos2x．
在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴cos2x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．
（Ⅱ）將f（x）圖象上的所有點向右平移$\frac{π}{2}$個單位，
可得y=-cos2（x-$\frac{π}{2}$）=-cos（π-2x）=cos2x 的圖象；
再把橫坐標縮短到原來的$\frac{2}{3}$倍，可得y=cos3x的圖象；
再把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數g（x）=2cos3x的圖象．
根據圖象可得，g（x）的圖象和直線y=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$ 共有9個交點，
其中一個交點為（$\frac{π}{6}$，0），另外的8個交點關于（$\frac{π}{6}$，0）對稱，如圖所示：
故方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$ 的所有實根之和為$\frac{π}{6}$+4•（2•$\frac{π}{6}$）=$\frac{3π}{2}$．

點評 本題主要考查誘導公式，余弦函數的周期性，余弦函數的定義域和值域，函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個數判斷，屬于中檔題．