Question

已知：2f(x)=

3

(sinx+cosx)2+2cos2x-(1+

3

)，(x∈R)
（1）請說明函數(shù)y=f（x）的圖象可由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象位于y軸右側(cè)的對(duì)稱中心從左到右依次為A₁、A₂、A₃、A₄、…、A_n…、（n∈N^*），試求A₄的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：計(jì)算題,整體思想

分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及二倍角公式對(duì)已知條件整理得到函數(shù)y=f（x）解析式，再結(jié)合函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱中心為（kπ，0），由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，0)；再把k=4代入即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵2f(x)=

3

(1+2sinxcosx)+cos2x-

3

=

3

sin2x+cos2x
∴f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x=sin(2x+

π

6

)=sin2(x+

π

12

)
所以函數(shù)y=f（x）的圖象可由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到
（2）∵函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z
由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，0)
k依次取1，2，3，4…可得A₁、A₂、A₃、A₄…各點(diǎn)，
∴A₄的坐標(biāo)為(

23π

12

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性．在求這類問題時(shí)，常用整體代換思想．