Question

已知函數(shù)f（x）=

x+2

+k，k為已知的實數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的值域；并判斷其在定義域上的單調性（不必證明）；
（2）當k=-2時，設f（x）≤0的解集為A，函數(shù)g（x）=lg（4^x-6^x+1+a•9^x）的定義域為B，若（A∪B）⊆B，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在實數(shù)a，b≥-2且a＜b，使f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,集合

分析：（1）由偶次根式的含義，可得定義域和值域，以及函數(shù)的單調性；
（2）由

x+2

≤2，求得集合A=[-2，2]，由于（A∪B）⊆B，即有A⊆B，要使函數(shù)g（x）=lg（4^x-6^x+1+
a•9^x）有意義，則4^x-6^x+1+a•9^x＞0在[-2，2]恒成立，運用參數(shù)分離，并令t=（

2

3

）^x，則t∈[

4

9

，

9

4

]，運用二次函數(shù)的性質，求出不等式右邊的最大值，即可得到a的取值范圍；
（3）根據(jù)題意可得到：

k+ a+2 =2a k+ b+2 =2b

，即方程k+

x+2

=2x有兩個不相等的實數(shù)根，分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=2x-k的圖象，結合圖象法可得答案．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

x+2

+k的定義域為[-2，+∞），
值域為[0，+∞），且在[-2，+∞）上遞增；
（2）當k=-2時，設f（x）≤0的解集為A，即有

x+2

≤2，
解得-2≤x≤2，即A=[-2，2]，由于（A∪B）⊆B，即有A⊆B，
要使函數(shù)g（x）=lg（4^x-6^x+1+a•9^x）有意義，則
4^x-6^x+1+a•9^x＞0在[-2，2]恒成立，即有
a＞6•（

2

3

）^x-（

2

3

）^2x，令t=（

2

3

）^x，則t∈[

4

9

，

9

4

]，
上式右邊=6t-t²=-（t-3）²+9，由于區(qū)間[

4

9

，

9

4

]是增區(qū)間，
則右邊最大值為6×

9

4

-

81

16

=

135

16

，
則a＞

135

16

；
（3）由于存在實數(shù)a，b≥-2且a＜b，
使f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，
由于函數(shù)f（x）=k+

x+2

是在x≥-2上是增函數(shù)，
則有

k+ a+2 =2a k+ b+2 =2b

，
此式表明：方程k+

x+2

=2x有兩個不相等的實數(shù)根，
即方程

x+2

=2x-k有兩個不相等的實數(shù)根，
分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=2x-k的圖象，
當直線y=2x-k與曲線y=

x+2

相切時，

x+2

=2x-k有唯一解，解得k=-

33

8

；
當直線y=2x-k過曲線上的點（-2，0）時，
解得k=-4；
結合圖象可得：當兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點時，
實數(shù)k的取值范圍是（-

33

8

，-4]．

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，本題的關鍵是將原問題轉化為方程的解，進而轉化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合的思想方法加以解決，同時考查不等式恒成立問題注意轉化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．