Question

已知圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：x²+y²=16．過定點P（-2，0）作直線l與圓C₂，圓C₁依次相交于點A，P，Q，B，過點P（-2，0）作與直線l垂直的直線交圓C₁于另一點C．
（1）當直線L的斜率k=2時，求△ABC的面積；
（2）當直線l變化時，求線段BC中點M的軌跡．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：本題（1）利用點到直線的距離公式求出弦心距，再利用勾股定理求出弦長，從而求出△ABC的面積；（2）利用參數(shù)表示出點B、C的坐標，利用中點坐標公式得到點M的坐標，消參數(shù)得到M的軌跡方程，從而得到M的軌跡，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵直線L的斜率k=2，過定點P（-2，0），
∴直線l的方程為：y=2（x+2），即2x-y-4=0．
圓心O到直線l的距離為：d=

|-4|

22+12

=

4

5

5

．
∴在圓C₂：x²+y²=16中，AB=2

16-( 4 5 5 )2

=

16

5

5

．
∵PC⊥PQ，
∴PC=2d=

8

5

5

．
∴△ABC的面積為：

1

2

×

8

5

5

×

16

5

5

=

64

5

．
∴△ABC的面積為：

64

5

．
（2）設直線L的斜率k，（k存在，k≠0），
由

y=k(x+2) x2+y216

得：
（k²+1）x²+4k²x+4k²-16=0，
∴

xB= -2k2+2 3k2+4 k2+1 yB= 2k+2k 3k2+4 k2+1

．
由

y= 1 k (x+2) x2+y2=4

得：
（k²+1）x²+4x+4-4k²=0，
（x+2）[（k²+1）x+（2-2k²）]=0，
∴

xC= 2k2-2 k2+1 yC= -4k k2+1

，
∵點M為線段BC中點，
∴xM=

xB+xC

2

=

3k2+4 -1

k2+1

，①
yM=

k( 3k2+4 -1)

k2+1

，②
∴由①②得：k=

yM

xM

，代入①化簡得到：
（x²+y²+x）²=4x²+3y²．
∴（x-1）²+y²=4．
∴線段BC中點M的軌跡是以點（1，0）為圓心，半徑為2的圓．

點評：本題考查了點到點到直線的距離公式、弦長公式、參數(shù)方程，還考查了函數(shù)方程的思想，本題難度適中，屬于中檔題．